Integral
Integral adalah sebuah konsep matematika yang digunakan untuk menghitung luas area yang dibatasi oleh kurva fungsi, volume benda yang dibatasi oleh permukaan, dan banyak lagi. Integral merupakan kebalikan dari diferensial.
Dalam dasar-dasar kalkulus, integral adalah operasi matematika yang berlawanan dengan diferensiasi. Ada dua jenis integral utama: integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral).
1. Integral Tak Tentu (Indefinite Integral)
Integral tak tentu juga dikenal sebagai antiderivatif. Ini mengukur fungsi asal (fungsi sebelum diintegrasikan).
Representasi simbolisnya adalah ∫ f(x) dx, di mana f(x) adalah fungsi yang akan diintegrasikan, dan dx menunjukkan variabel terhadap yang diintegrasikan.
Hasilnya adalah fungsi plus konstanta integrasi, biasanya ditandai dengan C. Contoh: ∫ 2x dx = x^2 + C.
2. Integral Tentu (Definite Integral)
Integral tentu digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva fungsi di antara dua titik tertentu pada sumbu x.
Representasi simbolisnya adalah ∫[a, b] f(x) dx, di mana a dan b adalah batas integrasi, f(x) adalah fungsi yang diintegrasikan, dan dx adalah elemen lebar.
Hasilnya adalah suatu angka yang menyatakan luas daerah di antara kurva dan sumbu x dalam interval [a, b].
Contoh Soal Integral
Berikut adalah 10 contoh soal integral dan penyelesaiannya:
1. Hitunglah integral dari f(x) = 2x^2 + 3x + 1
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ (2x^2 + 3x + 1) dx
= (2/3) x^3 + (3/2) x^2 + x + C
2. Hitunglah integral dari f(x) = 3x^4 – 2x^2 + 5
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ (3x^4 – 2x^2 + 5) dx
= (3/5) x^5 – (2/3) x^3 + 5x + C
3. Hitunglah integral dari f(x) = e^x cos(x)
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ e^x cos(x) dx
= e^x cos(x) + e^x sin(x) + C
4. Hitunglah integral dari f(x) = 1/(1+x^2)
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ 1/(1+x^2) dx
= arctan(x) + C
5. Hitunglah integral dari f(x) = 2 /(x^2 – 4)
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ 2/(x^2 – 4) dx
= -1/2 ln |x-2| + 1/2 ln |x+2| + C
6. Hitunglah integral dari f(x) = √(x + √x)
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ √(x + √x) dx
= 8/15 (x + √x)^(3/2) + C
7. Hitunglah integral dari f(x) = 1 / (x√(x^2 – 4))
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ 1 / (x√(x^2 – 4)) dx
= (1/2) ln |x + √(x^2 – 4)| + C
8. Hitunglah integral dari f(x) = 2cos(3x)
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ 2cos(3x) dx
= (2/3) sin(3x) + C
9. Hitunglah integral dari f(x) = 1/√(x^2 + 16)
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ 1/√(x^2 + 16) dx
= ln | x + √(x^2 + 16) | + C
10. Hitunglah integral dari f(x) = 5x^3 / (3 + x^4)
Jawaban:
∫ f(x) dx = ∫ (5x^3 / (3 + x^4)) dx
= (5/4) ln |3 + x^4| + C