Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear 3x + 4y ≤ 96 ; x + y ≤ 30 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 adalah ….
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V
Jawaban:
D. IV
Pembahasan:
Sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah:
- 3x+4y≤96
- x+y≤30
- x≥0
- y≥0
1. Menentukan Persamaan Garis Batas
Terlebih dahulu kita identifikasi dua garis batas dari pertidaksamaan (1) dan (2) pada diagram.
Garis 1: 3x+4y=96
- Titik potong dengan sumbu X (saat y=0):
3x+4(0)=96⟹3x=96⟹x=32. Titik: (32,0). - Titik potong dengan sumbu Y (saat x=0):
3(0)+4y=96⟹4y=96⟹y=24. Titik: (0,24).
Garis 2: x+y=30
- Titik potong dengan sumbu X (saat y=0):
x+0=30⟹x=30. Titik: (30,0). - Titik potong dengan sumbu Y (saat x=0):
0+y=30⟹y=30. Titik: (0,30).
Dari gambar:
- Garis yang memotong sumbu X di (32,0) dan sumbu Y di (0,24) adalah garis yang lebih bawah/landai (melalui x=30 sedikit ke kanan, dan y=20 sedikit ke atas). Ini adalah garis 3x+4y=96.
- Garis yang memotong sumbu X di (30,0) dan sumbu Y di (0,30) adalah garis yang lebih atas/curam (melalui x=30 persis, dan y=30 persis). Ini adalah garis x+y=30.
2. Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)
A. Pertidaksamaan x≥0 dan y≥0
Pertidaksamaan ini membatasi daerah hanya pada kuadran I (daerah di sebelah kanan sumbu Y dan di atas sumbu X). Ini berarti daerah I, II, dan V (yang jelas berada di kuadran I) dan sebagian dari III dan IV (yang juga di kuadran I) yang mungkin.
B. Pertidaksamaan 3x+4y≤96
Gunakan titik uji (0,0):
3(0)+4(0)≤96⟹0≤96 (Benar).
Karena titik (0,0) memenuhi, DHP untuk pertidaksamaan ini adalah daerah di bawah atau ke kiri dari garis 3x+4y=96.
C. Pertidaksamaan x+y≤30
Gunakan titik uji (0,0):
0+0≤30⟹0≤30 (Benar).
Karena titik (0,0) memenuhi, DHP untuk pertidaksamaan ini adalah daerah di bawah atau ke kiri dari garis x+y=30.
3. Menentukan Irisan Daerah
Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan harus:
- Berada di kuadran I (x≥0 dan y≥0).
- Berada di bawah garis 3x+4y=96.
- Berada di bawah garis x+y=30.
Mari kita tinjau daerah-daerah pada gambar:
- Daerah V: Berada di atas garis x+y=30 (tidak memenuhi x+y≤30).
- Daerah III: Terbatas di atas garis 3x+4y=96 (tidak memenuhi 3x+4y≤96).
- Daerah II: Terbatas di bawah garis 3x+4y=96 tetapi berada di atas sumbu X dan berada di bawah garis x+y=30. Namun, Daerah II adalah daerah tak terbatas yang mencakup daerah di bawah kedua garis, tetapi juga dibatasi oleh garis 3x+4y=96 dan x+y=30 serta sumbu X.
Lebih spesifik, jika kita perhatikan perpotongan garis:
x+y=30 dan 3x+4y=96.
Substitusi x=30−y ke 3x+4y=96: 3(30−y)+4y=96⟹90−3y+4y=96⟹y=6.
Maka x=30−6=24. Titik potong adalah (24,6).
- Daerah II, III, IV, V merupakan pembagian bidang oleh kedua garis.
- Daerah yang memenuhi semua syarat (di bawah kedua garis dan di Kuadran I) adalah daerah yang diapit oleh kedua garis tersebut dan sumbu koordinat (sebelah kiri titik potong (24,6)).
Daerah IV adalah satu-satunya daerah yang memenuhi secara visual:
- Terletak di kuadran I (di atas sumbu X dan kanan sumbu Y).
- Terletak di bawah garis x+y=30.
- Terletak di bawah garis 3x+4y=96.
Oleh karena itu, Daerah IV adalah himpunan penyelesaian.