Berikut adalah beberapa contoh soal induksi matematika:
Soal 1
Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2 untuk setiap bilangan asli n.
Penyelesaian:
- Basis:
Pada n = 1,
1 + 2 + 3 + … + 1 = 1(1 + 1) / 2 = 1/2
Pernyataan ini benar.
- Induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k, yaitu
1 + 2 + 3 + … + k = k(k + 1) / 2
Kita ingin membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k + 1.
1 + 2 + 3 + … + k + k + 1 = (1 + 2 + 3 + … + k) + (k + 1)
Berdasarkan asumsi induksi, kita memiliki
1 + 2 + 3 + … + k + k + 1 = k(k + 1) / 2 + k + 1
= (k + 1)(k + 2) / 2
Pernyataan ini benar.
- Kesimpulan:
Pada basis dan induksi, kita telah membuktikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli n.
Soal 2
Buktikan bahwa 2^n > n^2 untuk setiap bilangan asli n > 4.
Penyelesaian:
- Basis:
Pada n = 5,
2^5 > 5^2
32 > 25
Pernyataan ini benar.
- Induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k, yaitu
2^k > k^2
Kita ingin membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k + 1.
2^{k + 1} > (k + 1)^2
2^k * 2 > k^2 + 2k + 1
2^k * 2 > k(k + 1) + 1
2^k * 2 > (k + 1)(k – 1) + 1
Berdasarkan asumsi induksi, kita memiliki
2^k > k – 1
2^k * 2 > 2k – 2
2^k * 2 + 2 > 2k
2^k * 2 + 1 > 2k + 1
Pernyataan ini benar.
- Kesimpulan:
Pada basis dan induksi, kita telah membuktikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli n > 4.
Soal 3
Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n^2 untuk setiap bilangan asli n.
Penyelesaian:
- Basis:
Pada n = 1,
1 + 3 + 5 = 3
3 = 1^2
Pernyataan ini benar.
- Induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k^2
Kita ingin membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k + 1.
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = (k^2) + (2k + 1)
= k^2 + 2k + 1
= (k + 1)^2
Pernyataan ini benar.
- Kesimpulan:
Pada basis dan induksi, kita telah membuktikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli n.
Soal 4
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n,
1^2 + 2^2 + … + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
Penyelesaian:
- Basis:
Pada n = 1,
1^2 = \frac{1(1 + 1)(2 + 1)}{6}
1 = \frac{6}{6}
Pernyataan ini benar.
- Induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k, yaitu
1^2 + 2^2 + … + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}
Kita ingin membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k + 1.
1^2 + 2^2 + … + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2
= \frac{(k + 1)(k(2k + 1) + 6)}{6}
= \frac{(k + 1)(2k^2 + 6)}{6}
= \frac{(k + 1)(2k + 1)(k + 3)}{6}
Pernyataan ini benar.
- Kesimpulan:
Pada basis dan induksi, kita telah membuktikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli n.
Soal 5
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n,
1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}
Penyelesaian:
- Basis:
Pada n = 1,
1 = \frac{1(1 + 1)}{2}
1 = \frac{2}{2}
Pernyataan ini benar.
Induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k, yaitu
1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k + 1)}{2}
Kita ingin membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k + 1.
1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1)
= \frac{(k + 1)(k) + (k + 1)}{2}
= \frac{(k + 1)(k + 1)}{2}
Pernyataan ini benar.
- Kesimpulan:
Pada basis dan induksi, kita telah membuktikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli n.
Itulah beberapa contoh soal induksi matematika lainnya. Induksi matematika adalah teknik pembuktian yang dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika.
